Diện tích hình bình hành
– Khái niệm
Diện tích hình bình hành là toàn phần mặt phẳng ta có thể thấy được của hình bình hành.
Diện tích hình bình hành được đo bằng độ lớn của bề mặt hình, là phần mặt phẳng ta có thể nhìn thấy của hình bình hành.
Diện tích hình bình hành được tính theo công thức bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.
SABCD = a.h
Trong đó:
Slà diện tích hình bình hành.alà cạnh đáy của hình bình hành.hlà chiều cao, nối từ đỉnh tới đáy của một hình bình hành.
Cách tính diện tích hình bình hành khi biết 2 đường chéo
Thông thường nếu đề bài chỉ cho một dữ kiện về độ dài của hai đường chéo không thôi thì chắc chắc chúng ta không giải được. Vì thế, đề sẽ thường cho yếu tố góc giữa hai đường chéo đi kèm. Cụ thể như sau:
Cho hình bình hành ABCD có AC và BD là hai đường chéo, giao điểm của hai đường chéo là O và số đo góc AOB tạo bởi hai đường chéo. Diện tích hình bình hành khi biết độ dài hai đường chéo được tính như sau:
S = 1/2.AC.BD.Sin(AOB) = 1/2.AC.BD.Sin(AOD)
Công thức tổng quát tính diện tích hình bình hành khi biết hai đường chéo là: S = 1/2.c.d.sinα
Với:
- c, d lần lượt là độ dài của hai đường chéo hình bình hành (cùng đơn vị đo)
- α là góc tạo bởi hai đường chéo.
Phương pháp nhớ công thức tính diện tích, chu vi hình bình hành
– Phương pháp học
Thường xuyên làm bài tập, ngoài giúp ta thành thạo dạng toán, nhớ được công thức, hiểu kĩ được vấn đề. Hơn nữa còn giúp ta có được tư duy giải quyết vấn đề cực kỳ tốt.
– Mẹo nhớ công thức
Mẫu thơ về công thức tính diện tích, chu vi hình bình hành:
Bình hành diện tích tính sao
Chiều cao nhân đáy ra liền khó chi
Chu vi thì cần những gì
Cạnh kề cộng lại ta liền nhân hai.
Ví dụ: Có một hình bình hành có chiều dài cạnh đáy CD = 8cm và chiều cao nối từ đỉnh A xuống cạnh CD dài 5cm. Hỏi diện tích của hình bình hành ABCD bằng bao nhiêu?
Theo công thức tính diện tích hình bình hành, ta áp dụng vào để tính diện tích hình bình hành như sau:
Có chiều dài cạnh đáy CD (a) bằng 8 cm và chiều cao nối từ đỉnh xuống cạnh đáy bằng 5 cm. Suy ra ta có cách tính diện tích hình bình hành:
S (ABCD) = a x h = 8 x 5 = 40 cm2
Ví dụ: Cho một hình bình hành ABCD có chiều dài cạnh đáy CD = 10 cm và chiều cao nối từ đỉnh A xuống cạnh CD dài 5 cm. Hỏi diện tích của hình bình hành ABCD là bao nhiêu.
Giải:
Áp dụng theo công thức tính diện tích hình bình hành ta có:
S = a.h = 10.5 = 50 cm2.
Vậy diện tích của hình bình hành là 50 cm2.
Chu vi hình bình hành
– Khái niệm chu vi hình bình hành: chu vi của một hình bình hành bằng 2 lần tổng một cặp cạnh kề nhau bất kỳ. Nói cách khác, chu vi hình bình là tổng độ dài của 4 cạnh hình bình hành.
Chu vi hình bình hành được tính bằng tổng độ dài các đường bao quanh hình, cũng chính là đường bao quanh toàn bộ diện tích, bằng 2 lần tổng một cặp cạnh kề nhau bất kỳ.
Nói cách khác, chu vi hình bình hành là tổng độ dài của 4 cạnh. Công thức cụ thể như sau:
C = 2 x (a+b)
Trong đó:
Clà chu vi hình bình hành.avàblà cặp cạnh kề nhau của hình bình hành.
Ví dụ: Cho một hình bình hành ABCD có hai cạnh a và b lần lượt là 5 cm và 7 cm. Hỏi chu vi của hình bình hành ABCD bằng bao nhiêu?
Áp dụng công thức tính chu vi hình bình hành ta có:
C = (a +b) x 2 = (7 + 5) x 2 =12 x 2 = 24 cm
Ví dụ: Cho một hình bình hành ABCD có chiều dài 2 cạnh a và b lần lượt là 9 cm và 6 cm. Hỏi chu vi hình bình hành bằng bao nhiêu.
Giải:
Áp dụng theo công thức tính chu vi hình bình hành ta có:
C = (a+b) x 2 = (9+6) x 2 = 15 x 2 = 30 cm.
Vậy chu vi của hình bình hành là 30 cm.
Khái niệm hình bình hành là gì?
Hình bình hành là tứ giác mà có 2 cặp cạnh đối song song với nhau hoặc 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Trong hình bình hành có 2 góc đối bằng nhau; 2 đường chéo sẽ cắt nhau tại trung điểm của hình. Dễ nhớ hơn có thể hiểu hình bình hành là 1 trường hợp đặc biệt của hình thang.
Tính chất và dấu hiệu nhận biết hình bình hành
– Giới thiệu
Hình bình hành là một hình tứ giác được tạo thành khi hai cặp hoặc một cạnh đối nhau song song và bằng nhau. Nó còn là một dạng đặc biệt của hình thang.
– Tính chất:
+ Các cạnh đối song song và bằng nhau.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
– Dấu hiệu nhận biết:
+ Bản chất hình bình hành là một tứ giác đặc biệt.
+ Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+ Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
+ Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
Hình bình hành là hình thang
Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành
Những lưu ý khi tính diện tích, chu vi hình bình hành
– Chú ý đơn vị đo là gì.
– Khi tính diện tích chú ý đường cao h đã cùng đơn vị đo với chiều dài đáy hay chưa và khi tính chu vi cần xem chiều dài 2 cạnh kề nhau đã cùng đơn vị hay chưa. Nếu chưa cần đổi lại.
Bài tập áp dụng công thức tính diện tích, chu vi hình bình hành
Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD có chiều cao hạ xuống cạnh CD là 5cm, chiều dài CD là 15cm. Tính diện tích hình bình hành ABCD.
Giải:
S (ABCD) = 5 x 15 = 75 cm2
Bài tập 2: Cho hình bình hành có chu vi là 364cm và độ dài cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia; gấp 2 lần chiều cao. Hãy tính diện tích hình bình hành đó.
Giải:
Nửa chu vi hình bình hành là: 364 : 2 = 182 (cm).
Cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia nên nửa chu vi sẽ gấp 7 lần cạnh kia.
Cạnh đáy hình bình hành là: 182 : 7 x 6 = 156 (cm).
Chiều cao hình bình hành là: 156 : 2 = 78 (cm).
Diện tích hình bình hành là: 156 x 78 = 12168 (cm2).
Bài tập 1:
Cho hình bình hành ABCD có chiều cao hạ xuống cạnh CD là 5, chiều dài CD là 15, hãy tính diện tích hình bình hành ABCD
Bài giải:
S (ABCD) = 5 x 15 = 75 cm2
Bài tập 2:
Mảnh đất hình bình hành có cạnh đáy là 47m, mở rộng mảnh đất bằng cách tăng các cạnh đáy của hình bình hành này thêm 7m thì được mảnh đất hình bình hành mới có diện tích hơn diện tích mảnh đất ban đầu là 189m2. hãy tính diện tích mảnh đất ban đầu.
Bài giải:
Phần diện tích tăng thêm chính là diện tích hình bình hành có cạnh đáy 7m và chiều cao là chiều cao của mảnh đất hình bình hành ban đầu.
Chiều cao mảnh đất là: 189 : 7 = 27 (m)
Diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu là: 27 x 47 = 1269 (m2)
Bài tập 3:
Cho hình bình hành có chu vi là 480cm, có độ dài cạnh đáy gấp 5 lần cạnh kia và gấp 8 lần chiều cao. Tính diện tích hình bình hành
Bài giải:
– Ta có nửa chu vi hình bình hành là: 480 : 2 = 240 (cm)
– Nếu như coi cạnh kia là 1 phần thì cạnh đáy chính là 5 phần như vậy.
Ta có cạnh đáy hình bình hành là: 240 : (5+1) x 5 = 200 (cm)
Tính được chiều cao của hình bình hành là: 200 : 8 = 25 (cm)
Diện tích của hình bình hành là: 200 x 25 = 5000 (cm2)
Bài tập 4:
Cho hình bình hành có chu vi là 364cm và độ dài cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia; gấp 2 lần chiều cao. Hãy tính diện tích hình bình hành đó
Bài giải:
Nửa chu vi hình bình hành là: 364 : 2 = 182 (cm)
Cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia nên nửa chu vi sẽ gấp 7 lần cạnh kia.
Cạnh đáy hình bình hành là: 182 : 7 x 6 = 156 (cm)
Chiều cao hình bình hành là: 156 : 2 = 78 (cm)
Diện tích hình bình hành là: 156 x 78 = 12168 (cm2)
Bài tập 5:
Một hình bình hành có cạnh đáy là 71cm. Người ta thu hẹp hình bình hành đó bằng cách giảm các cạnh đáy của hình bình hành đi 19 cm được hình bình hành mới có diện tích nhỏ hơn diện tích hình bình hành ban đầu là 665cm2. Tính diện tích hình bình hành ban đầu.
Bài giải:
Phần diện tích giảm đi chính là diện tích hình bình hành có cạnh đáy là 19m và chiều cao là chiều cao mảnh đất hình bình hành ban đầu.
Chiều cao hình bình hành là: 665 : 19 = 35 (cm)
Diện tích hình bình hành đó là:
71 x 35 = 2485 (cm2)
Bài 1: Cho hình bình hành có chu vi là 384cm, độ dài cạnh đáy = 5 lần cạnh kia, = 8 lần chiều cao. Tính diện tích của hình bình hành.
Bài giải:
– Gọi cạnh bên = a, ta có: cạnh đáy = 5a, chiều cao = 5a/8
– Chu vi hình bình hành = (cạnh bên + cạnh đáy) x 2 = 384
(a + 5a) x 2 = 384
a = 30cm
Do đó, cạnh bên = 32cm, cạnh đáy = 160cm, chiều cao = 20
Vì thế, diện tích hình bình hành là 20 x 160 = 3600 (cm2)
Bài 2: Một mảnh đất hình bình hành, biết cạnh đáy bằng 23m, mở rộng mảnh đất bằng việc tăng cạnh đáy mảnh đất này thêm 5cm thì được mảnh đất hình bình hành mới có diện tích lớn hơn mảnh đất ban đầu là 115m2. Tính diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu.
Bài giải:
Dựa vào công thức tính diện tích hình bình hành:
– Theo đầu bài, diện tích mảnh đất hình hành mới = 115m2
– Do đó, chiều cao của mảnh đất là 115 : 5 = 23 m
– Vì thế diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu là 23 x 23 = 529m2
Bài 3: Một mảnh đất hình bình hành có cạnh đáy là 27m. Người ta thu hẹp lại mảnh đất do bằng việc cắt giảm dáy của hình bình hành này khoảng 5m nên hình bình hành mới có diện tích nhỏ hơn mảnh đất ban đầu là 15m2. Tính diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu.
Bài giải:
– Theo đầu bài, diện tích mảnh đất hình thoi bị cắt đi là 15m2.
– Do đó, chiều cao của mảnh đất là 15 : 5 = 3m2.
– Vì thế, diện tích của mảnh đất hình bình hành ban đầu là 3 x 27 = 81m2.
Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD có chiều cao hạ xuống cạnh CD là 5, chiều dài CD là 15, hãy tính diện tích hình bình hành ABCD
Bài giải:
S (ABCD) = 5 x 15 = 75 cm2
Bài tập 2: Mảnh đất hình bình hành có cạnh đáy là 47m, mở rộng mảnh đất bằng cách tăng các cạnh đáy của hình bình hành này thêm 7m thì được mảnh đất hình bình hành mới có diện tích hơn diện tích mảnh đất ban đầu là 189m2. hãy tính diện tích mảnh đất ban đầu.
Bài giải:
Phần diện tích tăng thêm chính là diện tích hình bình hành có cạnh đáy 7m và chiều cao là chiều cao của mảnh đất hình bình hành ban đầu.
Chiều cao mảnh đất là: 189 : 7 = 27 (m)
Diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu là: 27 x 47 = 1269 (m2)
Bài tập 3: Cho hình bình hành có chu vi là 480cm, có độ dài cạnh đáy gấp 5 lần cạnh kia và gấp 8 lần chiều cao.
Tính diện tích hình bình hành
Bài giải:
Ta có nửa chu vi hình bình hành là: 480 : 2 = 240 (cm)
Nếu như coi cạnh kia là 1 phần thì cạnh đáy chính là 5 phần như vậy.
Ta có cạnh đáy hình bình hành là: 240 : (5+1) x 5 = 200 (cm)
Tính được chiều cao của hình bình hành là: 200 : 8 = 25 (cm)
Diện tích của hình bình hành là: 200 x 25 = 5000 (cm2)
Bài tập 4: Cho hình bình hành có chu vi là 364cm và độ dài cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia; gấp 2 lần chiều cao. Hãy tính diện tích hình bình hành đó
Bài giải:
Nửa chu vi hình bình hành là: 364 : 2 = 182 (cm)
Cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia nên nửa chu vi sẽ gấp 7 lần cạnh kia.
Cạnh đáy hình bình hành là: 182 : 7 x 6 = 156 (cm)
Chiều cao hình bình hành là: 156 : 2 = 78 (cm)
Diện tích hình bình hành là: 156 x 78 = 12168 (cm2)
Bài tập 5: Một hình bình hành có cạnh đáy là 71cm. Người ta thu hẹp hình bình hành đó bằng cách giảm các cạnh đáy của hình bình hành đi 19 cm được hình bình hành mới có diện tích nhỏ hơn diện tích hình bình hành ban đầu là 665cm2. Tính diện tích hình bình hành ban đầu.
Bài giải:
Phần diện tích giảm đi chính là diện tích hình bình hành có cạnh đáy là 19m và chiều cao là chiều cao mảnh đất hình bình hành ban đầu.
Chiều cao hình bình hành là: 665 : 19 = 35 (cm)
Diện tích hình bình hành đó là: 71 x 35 = 2485 (cm2)
Bài tập 6: Cho hình bình hành ABCD có chu vi bằng 624 (đvđd), cho biết độ dài cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia; gấp 2 lần chiều cao. Yêu cầu: Hãy tính diện tích hình bình hành.
Bài giải:
Nửa chu vi của hình bình hành là: 624 : 2 = 312 (đvđd)
Theo đề bài ta có: Cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia. Suy ra nửa chu vi sẽ gấp 7 lần cạnh kia.
Cạnh đáy của hình bình hành ABCD là: 312 : 7 x 6 = 267,4 (đvđd)
Chiều cao của hình bình hành ABCD là: 267,4 : 2 = 133,7 (đvđd)
Vậy diện tích của hình bình hành là: S (ABCD) = 267,4 x 133,7 = 35751,38 (đvdt).
Đáp số: S (ABCD) = 35751,38 (đvdt)
Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD, các cạnh bên có độ dài là AB = AC = 10 (đvđd), BC = 18 (đvđd). Vẽ AH vuông góc với BC (biết AH = 8 (đvđd). Yêu cầu:
- Tính độ dài các cạnh BH, CH, AD.
- Tính diện tích hình bình hành ABCD, diện tích hình tam giác ABH, và diện tích hình thang vuông AHCD.
Bài giải:
Áp dụng định lý Pitago vào tam vuông ABH ta được.
AB^2 = AH^2 + BH^2. Suy ra: BH^2 = AB^2 – AH^2 = 10^2 – 8^2 = 36 (đvđd)
=> BH sẽ bằng căn bậc hai của 36 và bằng 6 (đvđd).
CH = BC – BH = 18 – 6 =12 (đvđd).
Vì ABCD là hình bình hành có AB //CD, AB = CD = 10
Suy ra AD = BC = 18 (đvđd).
Diện tích hình bình hành ABCD là:
S (ABCD) = AH . BC = 8 . 18 = 144 (đvdt).
Diện tích tam giác vuông ABH là:
S (ABH) = ½ . AH . BH = ½ . 8 . 6 = 24 (đvdt).
Diện tích hình thang vuông AHCD là:
Cách 1: S (AHCD) = (AD + CH)/2 . AH = (18 + 12)/2 . 8 = 120 (đvdt)
Cách 2: S (AHCD)= S (ABCD) – S (ABH) = 144 – 24 = 120 (đvdt).
Bài tập luyện tập
Dưới đây là một vài mẫu bài toán tính diện tích hình bình hành được giải bằng cách áp dụng kết hợp công thức tính chu vi và chiều cao hình bình hành.
Dạng 1: Biết trước độ dài cạnh đáy và chiều cao
Đây là một dạng bài cơ bản và đơn giản nhất. Khi đã biết được độ dài cạnh đáy và chiều cao, . bạn chỉ cần áp dụng nhanh công thức tính diện tích hình bình hành: S = a.h.
Cho hình bình hành ABCD có độ dài cạnh đáy CD = 6cm. Đường thẳng nối từ đỉnh A đến cạnh đánh CD có độ dài h = 4cm. Hãy tính diện tích hình bình hành ABCD.
Giải:
Ta có độ dài cạnh đáy ABCD = CD = a = 6cm
Chiều cao = độ dài từ đỉnh A đến cạnh đáy CD = h = 4cm
Vậy diện tích hình bình hành ABCD được tính theo công thức sau:
S = a.h = 6.4 = 24 cm2
Dạng 2: Biết trước chiều cao và diện tích hình bình hành mẫu
Đây là dạng bài toán yêu cầu tính diện tích hình bình hành ABCD với chiều cao h khi đã biết được diện tích của hình bình hành A’B’C’D’ được tạo nên bởi độ dài chiều cao h = h’. Cho một hình bình hành ABCD có độ dài cạnh đáy bằng CD = a = 15cm.
Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 3cm nữa thì diện tích hình bình hành mới A’B’C’D’ với diện tích lớn hơn diện tích ban đầu là 15cm2. Tính diện tích hình bình hành ABCD ban đầu.
Giải:
Theo đề ta có diện tích hình bình hành mới = SABCD + 15cm2
Từ đó, ta có chiều cao hình bình hành = 15 : 3 = 5cm
Vậy diện tích hình bình hành ABCD = a.h = 15.5 = 75cm2
Dạng 3: Biết trước chu vi và độ dài một cạnh
Để giải được bài toán này các bạn cần nhớ đến công thức tính chu vi hình bình hành:
C = 2.(a+b)
Trong đó:
C: chu vi hình bình hành
a và b là độ dài các cạnh
Cho hình bình hành ABCD với chu vi bằng 28cm. Với độ dài cạnh cạnh đáy bằng 3/4 độ dài cạnh còn lại và bằng độ dài chiều cao (h). Hãy tính diện tích hình bình hành ABCD.
Giải:
Gọi độ dài cạnh đáy = a Ta có: độ dài chiều cao h = a Suy ra, độ dài cạnh còn lại = 3/4a
Ta có công thức:
Chu vi hình bình hành = 2.(a+b) = 28 cm = 2.(a + 3/4a) = 2.7/4a = 28 ⇔ a = 8 cm
Độ dài cạnh còn lại = 3/4a = 6cm
Độ dài chiều cao h = a = 8cm Vậy diện tích hình bình hành ABCD = a.h = 8.8 = 64cm2
Bài tập trắc nghiệm
Một số bài tập trắc nghiệm áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành giúp các em học sinh sớm tiếp xúc và giải nhanh kiểu đề thi trắc nghiệm.
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD, có chiều cao từ đỉnh xuống cạnh đáy bằng 10cm, độ dài CD bằng 5 cm. Diện tích hình bình hành ABCD là:
- 50 cm2
- 15 cm2
- 100 cm2
- 30 cm2
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 216cm2. Độ dài từ đỉnh A đến cạnh đáy CD bằng 12 cm. Cạnh đáy CD của hình bình hành đó là:
- 16 cm
- 18 cm
- 12 cm
- 10 cm
Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có cạnh đáy bằng 30cm, chiều cao bằng 10 cm. Diện tích hình bình hành đó là: 40 cm2
- 40 cm2
- 300 cm2
- 400 cm2
- 100 cm2
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 169cm2 với chiều cao từ đỉnh A đến cạnh đáy DC bằng 13cm. Cạnh đáy của hình bình hành là:
- 26 cm
- 13 cm
- 71.5 cm
- 16 cm
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có chiều cao bằng 5 cm và độ dài cạnh đáy bằng 8cm.Diện tích hình bình hành ABCD là:
- 26 cm2
- 26 cm
- 40 cm2
- 40 cm
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có độ dài cạnh lần lượt là AB = a = 6 cm, AD = b = 5 cm. Hãy tính chu vi hình bình hành trên.
- 22 cm
- 30 cm
- 22 cm2
- 30 cm2
Đáp án: (1. A) – (2. B) – (3. B) – (4 – B) – (5. C) – (6. A)
