Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki có những công thức gì, hệ quả gì và cách chứng minh từng hệ quả ra sao cùng các dạng bài toán thường găp là những phần kiến thức quan trọng, Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội sẽ giải đáp qua bài viết sau đây. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

$left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{a}{c} = frac{b}{d}$

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số $left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} right)$ và $left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} right)$ ta có:

$left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} right)left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} right) ge {left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3. Các hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hệ quả 1:

Nếu:

$[{a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n} = C]$

Thì:

$[min(x_1^2 + ... + x_n^2) = frac{C}{{a_1^2 + ... + a_n^2}}]$

Đạt được khi:

$[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}}]$

Hệ quả 2:
Nếu:

$[x_1^2 + ... + x_n^2 = {C^2}]$

Thì:

$[max({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]$

đạt được khi:

$[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} ge 0]$

$[min({a_1}{x_1} + ... + {a_n}{x_n}) = - left| C right|sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} ]$

Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi:

$[frac{{{x_1}}}{{{a_1}}} = ... = frac{{{x_n}}}{{{a_n}}} le 0]$

3. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao gồm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-4 b. Dạng phân thức

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-5

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

c. Một số dạng đặc biệt

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-6

II. MỘT SỐ KĨ THUẬT ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi

Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức, ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-7

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-8 2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng (a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²về đại lượng (a²₁+a²₂+…+a²_n)(b²₁+b²₂+…+b²_n) hoặc ngược lại.

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-9 3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.

voh.conm.vn-bat-dang-thu-bunhiacopxki-10 4. Kỹ thuật thêm bớt

Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn.

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-12

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-13 5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki

Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quen thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Công thức kỹ thuật đổi biến

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-14

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-15

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-16

voh.com.vn-bat-dang-thuc-bunhiacopxki-17

III. LƯU Ý KHI BIẾN ĐỔI BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 1

Với một số bất đẳng thức có giả thiết là ta có thể đổi biến:

biến đổi bất đẳng thức Bunhiacopxki 2

IV: SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI ÁP DỤNG BUNHIACOPXKI

Cho a là số thức dương thỏa mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=a2+1a2A=a2+1a2

Hướng dẫn:

sai lầm hay gặp phải khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

V. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI

a. Bài tập có đáp án:

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt 6$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$

$le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} right)}$

$Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt {3.2} = sqrt 6$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Lời giải:

$A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}$

Điều kiện: $2 le x le 4$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

${left[ {1.sqrt {x - 2} + 1.sqrt {4 - x} } right]^2} le left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {x - 2 + 4 - x} right) = {2^2} = 4$

$begin{array}{l} Rightarrow {A^2} le 4 Leftrightarrow - 2 le A le 2 end{array}$

A max = 2 khi $frac{1}{{sqrt {x - 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 - x} }} Leftrightarrow x - 2 = 4 - x Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì $sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3p}$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

$1.sqrt {p - a} + 1.sqrt {p - b} + 1.sqrt {p - c} le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {p - a + p - b + p - c} right)}$

$Leftrightarrow sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3left( {3p - 2p} right)} = sqrt {3p}$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{1}{{p - a}} = frac{1}{{p - b}} = frac{1}{{p - c}} Leftrightarrow a = b = c$ hay tam giác là tam giác đều

b. Bài luyện tập thêm

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, $A = sqrt {6 - x} + sqrt {x + 2}$

b, $B = sqrt x + sqrt {2 - x}$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c}{{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} le frac{3}{{sqrt 2 }}$

(gợi ý: biến đổi vế trái thành $sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}}$ rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

$sqrt {a - 1} + sqrt {b - 1} + sqrt {c - 1} le sqrt {cleft( {ab + 1} right)}$

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

$frac{1}{{{a^3}left( {b + c} right)}} + frac{1}{{{b^3}left( {c + a} right)}} + frac{1}{{{c^3}left( {a + b} right)}} ge frac{3}{2}$

Bài 5: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x² + y² ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + $sqrt{5}$

Vậy là các bạn vừa được tìm hiểu bất đẳng thức Bunhiacopxki: lý thuyết, cách chứng minh và bài tập vận dụng. Hi vọng, chia sẻ cùng bài viết bạn đã nắm vững hơn phần kiến thức Đại số 9 tối quan trọng này. Xem thêm bất đẳng thức Cô-si tại đường link này nhứ !