[Tìm hiểu] công thức tính nhanh đạo hàm của các hàm số cơ bản

Các công thức đạo hàm là phần kiến thức Toán 11 rất quan trọng nhưng lại nhiều và khá phức tạp. Nếu không được luyện tập thường xuyên học sinh sẽ dễ dàng quên ngay. Bài viết hôm nay, Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội sẽ hệ thống lại đầy đủ và chi tiết công thức tính nhanh đạo hàm và nhiều dạng bài tập thường gặp. Các bạn xem để lưu lại nhé !

I. LÝ THUYẾT CHUNG

1. Đạo hàm là gì ?

Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số thực chất là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó.

Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.

Trong hình học đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Tiếp tuyến đó là xấp xỉ tuyến tính gần đúng nhất của hàm ở gần giá trị đầu vào.

2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác là gì?

Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).

II. CÔNG THỨC TÍNH NHANH ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

1. Đạo hàm của hàm phân thức

Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức

$left( {frac{u}{v}} right)' = frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}$

Công thức đặc biệt: $left( {frac{1}{x}} right)' = frac{{ - 1}}{{{x^2}}};left( {frac{1}{u}} right)' = - frac{{u'}}{{{u^2}}}$

2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y = frac{{ax + b}}{{cx + d}} Rightarrow y' = frac{{ad - bc}}{{{{left( {cx + d} right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:

a. $y = frac{{3x - 2}}{{x - 1}}$

b. $y = frac{{x + 5}}{{2x + 3}}$

Hướng dẫn giải

a. $y' = frac{{3.left( { - 1} right) - left( { - 2} right).1}}{{{{left( {x - 1} right)}^2}}} = frac{{ - 1}}{{{{left( {x - 1} right)}^2}}}$

b. $y' = frac{{1.3 - 5.2}}{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}} = frac{{ - 7}}{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}}$

3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}} Rightarrow y' = frac{{ad{x^2} + 2aex + be - cd}}{{{{left( {dx + e} right)}^2}}}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}$

Hướng dẫn giải

$y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}$

4. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$begin{matrix} y = dfrac{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}{{{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}}} Rightarrow y' = dfrac{{left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}} {{a_2}}&{{b_2}} end{array}} right|{x^2} + 2left| {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}} {{a_2}}&{{c_2}} end{array}} right|x + left| {begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}&{{c_1}} {{b_2}}&{{c_2}} end{array}} right|}}{{{{left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} right)}^2}}} hfill Rightarrow y' = dfrac{{left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right){x^2} + 2left( {{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}} right)x + {b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}{{{{left( {{a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}} right)}^2}}} hfill end{matrix}$

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}$

Hướng dẫn giải

$y = frac{{3{x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + x + 2}}$

5. Công thức tính nhanh đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số bậc nhất/bậc nhất: f(x)=ax+b/cx+d⇒f′(x)=ad−bc/(cx+d)².

Hàm số bậc hai/bậc nhất: f(x)=ax²+bx+c/mx+n⇒f(x)=amx²+2anx+bn−cm/(mx+n)²

Hàm số đa thức bậc ba: f(x)=ax³+bx²+cx+d⇒f(x)=3ax²+2bx+c

Hàm số trùng phương: f(x)=ax⁴+bx²+c⇒f′(x)=4ax³+2bx.

Hàm số chứa căn bậc hai: f(x)=√u(x)⇒f′(x)=u′(x)/2√u(x)

Hàm số chứa trị tuyệt đối: f(x)=|u(x)|⇒f′(x)=u′(x).u(x)/|u(x)|.

III. QUY TẮC TÍNH NHANH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Các hàm số u = u(x), v= v(x), w = w (x) có đạo hàm, khi đó.

(u+v)’x = u’ + v’ ; (u-v)’ = u’ – v’ ; (ku’) = k.u’, k ∈ R.

(uv)’ = u’v + u.v’ ; (u/v)’ = (u’v – uv’)/v²

Đạo hàm các hàm số lượng giác lớp 11.

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = -sinx

(tanx)’ = 1/cos²x = 1 + tan²x ( x ≠π/2 + kπ, k ∈ Z).

(cotx)’ = -1/sin²x = -(1 +cot²x).

(x ≠π , k ∈ Z).

(Sinu)’ = cosu.u’.

(cosu)’ = -sinu.u’.

(tanu’) = u’/cos²u = (1 +tan²u)u’ ( u ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z).

(cotu)’ = -u’/sin²x = – 1 (1 + cot²u)u’ (u ≠ kπ, k ∈ Z).

Trên đây là một số quy tắc tính đạo mà các em cần phải nhớ. Chỉ khi nắm vững được phần kiến thức này các em mới có thể dễ dàng giải được các bài toán xét tính đơn điêu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác…

IV. BÀI TẬP TÍNH ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1:

Đạo hàm của hàm số y = 1/ (cos²x – sin²x) là :

A. y’ = 2sin2x/cos²2x B. y’ = 2cos2x/cos²2x

C. y’ = cos2x/cos²2x D. y’ = sin2x/cos²2x .

Hướng dẫn giải:

y = 1/ (cos²x – sin²x) = 1/cos2x.

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm với (1/u)’ = -u’/u² ta được”

y’ = -(cos2x)’/ (cos2x)² = sin2x. (2x)’/ cos²2x = 2sin2x.cos²2x.

Bài 2:

Cho hàm y = cotx/2. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. y² + 2y’ = 0 B. y² + 2y’ + 1 = 0

C. y² + 2y’ + 2 = 0 D. y² + 2y’ -1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có y’ = -1/(sin²x/2) = -1/2 ( 1+ cot²x/2).

Do đó y² + 2y’= cot²x/2 – 2.1/2(1 +cot²x/2) = cot²x/2 – (1 +cot²x/2) = -1 nên y² + 2y’ + 1 = 0. Chọn đáp án B.

Cách 2: Sử dụng máy tính casio.

Bước 1: Thiết lập môi trường SHIFT MODE 4.

Thay x = 1 vào y = cotx/2 ta tính được y cot 1/2 ≈ 1

Sử dụng phím SHIFT ∫, nhập hàm số y = cotx/2 với x = 1 được kết quả ≈ -1.

Do đó y² + 2y’ + 1 = 0.

Bài 3:

ính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos2x là:

A. y⁽ⁿ⁾ = (-1)ⁿcos (2x + n π/2)

B. y⁽ⁿ⁾ = 2ⁿcos ( 2x +π/2).

C. y⁽ⁿ⁾ = 2^{n +1}cos (2x + nπ/2).

D. y⁽ⁿ⁾ = 2ⁿcos (2x + nπ/2).

Hướng dẫn giải:

Ta có y′=2cos(2x+π2),y′′=2²cos(2x+2π2)

y′′′=2³cos(2x+3π2)

Bằng quy nạp ta chứng minh được y⁽ⁿ⁾= 2ⁿcos(2x+nπ2)

Bài 4:

Cho hàm số y= (x²+2x-1)/(2x-2). Tính đạo hàm của hàm số tại x= – 2

Hướng dẫn giải

Điều kiện : x≠1

Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là;

Bản quyền bài viết thuộc trường Trường THPT Phạm Hồng Thái. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Phạm Hồng Thái (thpt-phamhongthai.edu.vn)

[Tìm hiểu] công thức tính nhanh đạo hàm của các hàm số cơ bản

Related Posts

Trả lời Hủy