Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề

Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên là một trong nhưng dạng toán lớp 9 xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng toán đòi hỏi sự biến đổi linh hoạt và vận dụng cao năm vững kiến thức về ước và bội của số nguyên ở các lớp trước.

Bài viết này các em hãy cùng Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội tìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị của x để biểu thức nguyên, vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để nắm vững cách giải nhé.

A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

Để tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng: $small A=f(x)+frac{k}{g(x)}$ trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

+ Bước 2: Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì $giflatexdpi100spacesmallspacefrackg 1649471419 1 giflatexdpi100spacesmallspacefrackg 1649471419 1$ phải có giá trị nguyên hay tức là g(x) thuộc tập ước của k.

+ Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

B. Ví dụ minh họa tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

* Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: $dpi{100} small A=frac{sqrt{x}+4}{sqrt{x}+2}$

* Lời giải:

– Điều kiện A xác định là căn bậc 2 có nghĩa: x ≥ 0.

Ta có: $small A=frac{sqrt{x}+4}{sqrt{x}+2}=frac{sqrt{x}+2+2}{sqrt{x}+2}$ $small =1+frac{2}{sqrt{x}+2}$

Để A nhận giá trị nguyên thì $small frac{2}{sqrt{x}+2}$ nguyên (tức $small frac{2}{sqrt{x}+2}in mathbb{Z}$ )

– TH1: (loại)

– TH2: (thỏa)

Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

$small P=frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-3}$

* Lời giải:

Các em chú ý điều kiện để P xác định là căn bậc 2 không âm và mẫu thức khác không.

Điều kiện xác định:

Ta có: $small P=frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-3}=frac{sqrt{x}-3+5}{sqrt{x}-3}=1+frac{5}{sqrt{x}-3}$

Biểu thức P nhận giá trị nguyên khi $small frac{5}{sqrt{x}-3}$ có giá trị nguyên:

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để $small frac{5}{sqrt{x}-3}$ là số nguyên thì phải là số nguyên (không thể là số vô tỉ)

⇒ là ước tự nhiên của 5

Ta có các trường hợp như sau:

– TH1: (thỏa)

– TH2: (thỏa)

– TH3: (thỏa)

– TH4: (loại)

Vậy để biểu thức P đạt giá trị nguyên thì x ∈ {4; 16; 64}

* Ví dụ 3: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

$small B=frac{x^2+x-2}{x+1}$

* Lời giải:

– Điều kiện xác định (mẫu thức khác 0): x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1.

Ta có: $small B=frac{x^2+x-2}{x+1}$ $small =frac{x(x+1)-2}{x+1}=x-frac{2}{x+1}$

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì $small x-frac{2}{x+1}in mathbb{Z}Leftrightarrow frac{2}{x+1}in mathbb{Z}$

⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-1; 1; -2;2}

– TH1: x + 1 = -1 ⇒ x = -2

– TH1: x + 1 = 1 ⇒ x = 0

– TH1: x + 1 = -2 ⇒ x = -3

– TH1: x + 1 = 2 ⇒ x = 1

Vậy B nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; -2; 0; 1}.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị nguyên của x để P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên

* Lời giải:

– Ta có: $small P=frac{x+3}{x-2}=frac{(x-2)+5}{x-2}=1+frac{5}{x-2}$

Để P nhận giá trị nguyên thì $gif 10 gif 10$ nhận giá trị nguyên

Nên (x – 2) ∈ Ư(5) = {-1; 1; -5; 5}

– TH1: x – 2 = -1 ⇒ x = 1

– TH2: x – 2 = 1 ⇒ x = 3

– TH3: x – 2 = -5 ⇒ x = -3

– TH4: x – 2 = 5 ⇒ x = 7

Vậy P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; 1; 3 ; 7}

* Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:

$small A=frac{x^2-x+2}{x-3}$

* Lời giải:

– Ta có: $small A=frac{x^2-x+2}{x-3}$

$small =frac{x(x-3)}{x-3}+frac{2(x-3)}{x-3}+frac{8}{x-3}$ $small =x+2+frac{8}{x-3}$

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì $small frac{8}{x-3}$ nhận giá trị nguyên

Nên (x – 3) là ước của 8: (x – 3) ∈ U(8) = {-1; 1; -2; 2; -4; 4; -8; 8}

– TH1: x – 3 = -1 ⇒ x = 2

– TH2: x – 3 = 1 ⇒ x = 4

– TH3: x – 3 = -2 ⇒ x = 1

– TH4: x – 3 = 2 ⇒ x = 5

– TH5: x – 3 = -4 ⇒ x = -1

– TH6: x – 3 = 4 ⇒ x = 7

– TH7: x – 3 = -8 ⇒ x = -5

– TH8: x – 3 = 8 ⇒ x = 11

Vậy A nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11}

* Ví dụ 6: Tìm giá trị của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên

$small Q=frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}+1}$

* Lời giải:

– Điều kiện x ≥ 0.

– Trường hợp x = 0 thay vào Q ta được: Q = 0

– Trường hợp x > 0, ta chia tử thức và mẫu thức cho $gif 11 gif 11$

Ta được: $small frac{2}{sqrt{x}-1+frac{1}{sqrt{x}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với:

$small sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}geq 2.sqrt[4]{x}.frac{1}{sqrt[4]{x}}=2$

$small Rightarrow sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}-1geq 2-1$

$Rightarrow sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}-1geq 1>0$

$small Rightarrow 0<frac{1}{sqrt{x}-1+frac{1}{sqrt{x}}}leq frac{1}{1}$ (nghịch đảo 2 vế, bất đẳng thức đổi chiều)

$small Rightarrow0< frac{2}{sqrt{x}+frac{1}{sqrt{x}}-1}leq 2$ hay 0 < Q ≤ 2.

Vậy Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.

– Với Q = 1, ta có: $small frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}+1}=1$

(*)

Đặt phương trình (*) trở thành

t² – 3t + 1 = 0

Giải phương trình bậc 2 này ta được: $small t=frac{3pm sqrt{5}}{2}Rightarrow sqrt{x}=frac{3pm sqrt{5}}{2}$

$small Rightarrow x=frac{7pm 3sqrt{5}}{2}: (t.m)$

– Với Q = 2, ta có: $small frac{2sqrt{x}}{x-sqrt{x}+1}=2$

$small Leftrightarrow 2(sqrt{x}-1)^2=0$

Vậy Q nhận giá trị nguyên khi $small xin left { 0;1;frac{7-3sqrt{5}}{2} ;frac{7+3sqrt{5}}{2}right }$

C. Bài tập tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên

* Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

$small a): A=frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}-1}$

$small b): B=frac{sqrt{x}+3}{2-sqrt{x}}$

* Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

$small a): P=frac{x^2+3x+3}{2x-1}$

$small b): Q=frac{x^2-4x-17}{x+2}$

Hy vọng với bài viết Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để thầy cô trường THPT Sóc Trăng ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường Trường TCSP Mẫu giáo – Nhà trẻ Hà Nội . Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng (thpt-phamhongthai.edu.vn)

thpt-phamhongthai.edu.vn

Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề

Phạm Hồng Thái

Trả lời Hủy

Related Posts

Trả lời Hủy