Công thức cấp số cộng

Công thức giải nhanh cấp số cộng

cap so cong cap so cong

Cấp số cộng

1. Định nghĩa

dinh nghia dinh nghia

Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n∈N∗,Un+1=Un+d

Giải thích:

  • Kí hiệu d được gọi là công sai
  • Un+1–Un = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn Un+1;Un là hai số liên tiếp của dãy số CSC
  • Khi hiệu số Un+1–Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

+ Tính chất:

tinh chat 1 tinh chat 1

Ví dụ:

Dãy số 3;6;9;12;153;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì:

6=3+39=6+312=9+315=12+36=3+39=6+312=9+315=12+3

Đây là CSC có công sai d=4d=4 và số hạng đầu u1=3u1=3.

2. Số hạng tổng quát

un=u1+(n–1)d,(n≥2)un=u1+(n–1)d,(n≥2).

d=un−u1n−1d=un−u1n−1.

Ví dụ:

Cho CSC (un)(un) biết u1=−1,d=3u1=−1,d=3. Tìm u20u20.

Ta có:

u20=u1+(20−1)d=u1+19d=−1+19.3=56

3. Tính chất

3 tinh chat 3 tinh chat

4. Tổng nn số hạng đầu

tong n so hang dau tong n so hang dau

Bài tập cấp số cộng minh họa


Câu 1
. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2021] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải​

huong dan giaie2808b huong dan giaie2808b

Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?
Hướng dẫn giải​Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6

Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.
Hướng dẫn giải​
Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:

ta co ta co

Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.

Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
Hướng dẫn giải​
Ta có:

cau 4 cau 4

Câu 5. [ Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn giải​
Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0
PT vô nghiệm

Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un–un–1,∀n≥2.

Bước 2: Kết luận:

  • Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.
  • Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

van dung cong thuc tinh tong cap so cong van dung cong thuc tinh tong cap so cong

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

  • Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.
  • Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d.

Bài tập cấp số cộng

Bài 1. [Đề tham khảo lần 2 năm 2021] Cho cấp cấp số cộng (un) với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải

Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u2–u1=6

Bài 2: [Đề thi thử toán 2021 sở GD Hà Nội] Cho một CSC có u1=–3;u6=27. Tìm d ?

Hướng dẫn giải

u6=27⇔u1+5d=27⇔–3+5d=27⇔d=6

Bài 3: [Đề thi thử toán 2021 Chuyên PBC] Cho một CSC có u1=13;u8=26 Tìm d?

Hướng dẫn giải

u8=26⇔u1+7d=26

bai 3 bai 3

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

3. Tính S=u4+u5+…+u30.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết bài toán, ta có:

tu gia thiet bai toan ta co tu gia thiet bai toan ta co

1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100=u1+99d=–295

tong cua 15 so hang dau tong cua 15 so hang dau

Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:

ta co the tinh s theo cach sau ta co the tinh s theo cach sau

1. Xác định công sai?

2. Tính tổng S=u5+u7+…+u2011

Hướng dẫn giải

1. Ta có:

ta co 1 2 ta co 1 2
lap thanh csc lap thanh csc

Cách để Tìm tổng của cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi. Để tính tổng các số hạng của cấp số cộng, bạn có thể cộng nhẩm tất cả các số. Tuy nhiên, việc này sẽ không khả thi khi cấp số cộng gồm nhiều số hạng. Thay vào đó, bạn có thể nhanh chóng tìm tổng của cấp số cộng bằng cách nhân trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng cuối với số số hạng.

Đánh giá cấp số cộng của bạn

danh gia cap so cong cua ban danh gia cap so cong cua ban

Cần biết chắc là bạn có một cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy số liên tiếp, trong đó sự sai khác giữa các số hạng là hằng số. [1] Phương pháp này chỉ đúng khi dãy số của bạn là cấp số cộng.

  • Để xác định liệu bạn có cấp số cộng hay không, hãy tìm sai khác giữa vài số hạng đứng đầu dãy số và giữa những số hạng đứng cuối dãy số. Đảm bảo sai khác đó không thay đổi.
  • Ví dụ, dãy số 10, 15, 20, 25, 30 là một cấp số cộng vì sai khác giữa các số hạng liên tiếp là hằng số.
can biet chac la ban co mot cap so cong can biet chac la ban co mot cap so cong

Tính số số hạng trong cấp số cộng

Mỗi số trong cấp số cộng được gọi là số hạng. Nếu chỉ có một vài số hạng thì bạn có thể đếm. Mặt khác, nếu bạn biết số hạng đầu tiên, số hạng cuối cùng và công sai (sai số giữa mỗi số hạng), bạn có thể dùng công thức để tính số số hạng. Hãy đặt số số hạng phải tìm là biến số {displaystyle n}n.

  • Giả sử nếu bạn tính tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 thì {displaystyle n=5}n=5, vì có 5 số hạng trong cấp số cộng.
tinh so so hang trong cap so cong tinh so so hang trong cap so cong

Xác định số hạng đầu tiên và cuối cùng của cấp số cộng

Bạn cần biết cả hai số hạng này để tính tổng cấp số cộng. Thường thì số hạng đầu tiên sẽ là 1 nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Hãy đặt biến số a_{{1}} là số hạng đầu tiên của cấp số cộng và a_{{n}} là số hạng cuối của cấp số cộng.

  • Chẳng hạn, trong cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30, a_{{1}}=10, và a_{{n}}=30.

Tính tổng

tinh tong tinh tong

Viết công thức tính tổng cấp số cộng

Công thức sẽ là:

viet cong thuc tinh tong cap so cong viet cong thuc tinh tong cap so cong

trong đó {displaystyle S_{n}}S_{{n}} là tổng của cấp số cộng.[2]

  • Chú ý là công thức này cho biết tổng cấp số cộng bằng trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối nhân với số số hạng.
so hang cuoi nhan voi so so hang so hang cuoi nhan voi so so hang

Thay các giá trị của n, a1, và an vào công thức

Đảm bảo bạn thay số chính xác.

  • Ví dụ, nếu bạn có 5 số hạng trong cấp số cộng, 10 là số hạng đầu, và 30 là số hạng cuối, công thức sẽ như sau:

S_{{n}}=5({frac  {10+30}{2}}).

tinh trung binh cong cua so hang dau va so hang cuoi tinh trung binh cong cua so hang dau va so hang cuoi

Tính trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối

Để làm phép tính này, bạn hãy cộng hai số trên và chia cho 2.

  • Ví dụ:
    S_{{n}}=5({frac  {40}{2}})
    S_{{n}}=5(20)
nhan trung binh cong cua hai so voi so so hang trong day so nhan trung binh cong cua hai so voi so so hang trong day so

Nhân trung bình cộng của hai số với số số hạng trong dãy số

Bạn sẽ được tổng của cấp số cộng.

  • Ví dụ:
    S_{{n}}=5(20)
    S_{{n}}=100
    Như vậy, tổng của cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30 là 100.

Hoàn thành các bài toán mẫu

hoan thanh cac bai toan mau hoan thanh cac bai toan mau

Tìm tổng của các số từ 1 đến 500. Hãy coi các số này đều là số nguyên liên tiếp.

  • Xác định số số hạng (n) trong cấp số cộng. Vì ta đang coi là dãy số nguyên liên tiếp đến 500 nên n=500.
  • Xác định số hạng đầu (a_{{1}}) và số hạng cuối (a_{{n}}) trong cấp số cộng. Do cấp số cộng là dãy số từ 1 đến 500 nên a_{{1}}=1 và a_{{n}}=500.
  • Tìm trung bình cộng của a_{{1}} và a_{{n}}{frac  {1+500}{2}}=250,5.
  • Nhân trung bình cộng với n250,5times 500=125.250.
tinh tong cua cap so cong trong do so hang dau la 3 so hang cuoi la 24 cong sai la 7 tinh tong cua cap so cong trong do so hang dau la 3 so hang cuoi la 24 cong sai la 7
  • Tìm số số hạng (n) trong cấp số cộng. Vì số hạng đầu bạn có là 3, số hạng cuối là 24 và mỗi số cách nhau 7 đơn vị, nên dãy số sẽ là 3, 10, 17, 24. (Công sai là sai khác giữa mỗi số hạng trong cấp số cộng). Điều đó có nghĩa là n=4
  • Tìm số hạng đầu (a_{{1}}) và số hạng cuối (a_{{n}}) của cấp số cộng. Vì cấp số cộng là dãy số từ 3 đến 24 nên a_{{1}}=3 và a_{{n}}=24.
  • Tính trung bình cộng của a_{{1}} và a_{{n}}{frac  {3+24}{2}}=13,5.
  • Nhân trung bình cộng với n13,5times 4=54.
giai bai toan sau day giai bai toan sau day

Giải bài toán sau đây

Mara tiết kiệm 5 đô la trong tuần đầu tiên của năm. Trong khoảng thời gian còn lại của năm, cô ấy tăng số tiền tiết kiệm hằng tuần thêm 5 đô la mỗi tuần. Hỏi đến cuối năm Mara tiết kiệm được bao nhiêu tiền?

  • Tìm số số hạng (n) trong cấp số cộng. Vì Mara tiết kiệm trong 52 tuần (1 năm) nên n=52.
  • Tìm số hạng đầu (a_{{1}}) và số hạng cuối (a_{{n}}) của cấp số cộng. Số tiền tiết kiệm ban đầu là 5 đô la, vậy a_{{1}}=5. Để tìm số tiền tiết kiệm vào tuần cuối cùng trong năm, ta làm phép tính 5times 52=260. Vậy a_{{n}}=260.
  • Tính trung bình cộng của a_{{1}} và a_{{n}}{frac  {5+260}{2}}=132,5.
  • Nhân trung bình cộng với n135,5times 52=7.046. Như vậy, đến cuối năm, Mara tiết kiệm được 7.046 đô la.

Các công thức liên quan đến cấp số cộng

Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể

– Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:

ak = a + (k-1)d.

– Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

cong thuc tinh tong n so hang dau tien cua cap so cong cong thuc tinh tong n so hang dau tien cua cap so cong

Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.

Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:

Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai]  + 1

Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!

Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số

Phương pháp:

phuong phap phuong phap

– Ba số  theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng a + c = 2b.

– Ba số  theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ac = b^{2}.

–  Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u_{1} và d.

–  Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u_{1} và q.

Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số

Phương pháp:

– Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.

– Sử dụng tính chất của cấp số:

i)  a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC a + c = 2b

ii) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN ac = b^{2}

Vấn đề 3. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số

Phương pháp:

i)  theo thứ tự đó lập thành CSC a + c = 2b

ii) theo thứ tự đó lập thành CSN ac = b^{2}

Phạm Hồng Thái

Trường THPT Phạm Hồng Thái đạt trường chuẩn Quốc gia năm 2009, Nhà trường nằm trên đường Nguyễn Văn Ngọc, phường Cống Vị, Quận Ba Đình, Thành phố Hà Nội. Với truyền thống 45 năm dạy tốt và học tốt, nhà trường đã đạt được nhiều thành tích, được Thủ tướng Chính phủ, UBND Thành phố Hà Nội, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tặng nhiều bằng khen.

Related Posts

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.