Trong một tam giác có nhiều loại đường thẳng đặc biệt như đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác… vậy đường trinh bình của tam giác là gì? Hãy cùng thuvienhoidap.net tìm hiểu kiến thức toán học này nha.

Định nghĩa đường trung bình của tam giác là gì?

a – Định nghĩa 

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

• Cho tam giác ABC với D là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC thì ta có được
• DA = DA  và EA = EC
• Và canh DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Bất kỳ loại tam giác nào như tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông hay tam giác thường đều có đường trung bình.

b – Định lý liên quan đến đường trung bình trong tam giác

Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với D là trung điểm của AB thì 

• Nếu DA = DB, DE//BC
• = > EA = EC

Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ cho tam giác ABC có đường trung bình là DE thì:

• Nếu AD = DB, AE = EC
• = > DE//BC và DE = 1/2BC

c – Những tính chất đường trung bình trong tam giác 

• Đường trinh bình luôn luôn song song với cạnh thứ ba của tam giác.
• Đường trung bình sẽ tạo thành một tam giác nhỏ hơn tương tự như tam giác ban đầu.
• Hình tam giác nhỏ hơn bằng một phần tư diện tích của hình tam giác ban đầu.
• Hình tam giác nhỏ hơn có chu vi bằng 1 nửa chu vi tam giác ban đầu.
• Vì tam giác nhỏ hơn tạo bởi đoạn giữa đồng dạng với tam giác ban đầu nên các góc tương ứng của hai tam giác đó đồng dạng; các góc trong tương ứng của mỗi tam giác có cùng số đo.

Tham khảo thêm: Hình lục giác đều là gì

Đường trung bình của hình thang là gì?

a – Định nghĩa đường trung bình của hình thang

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên hình thang.

• Ví dụ cho hình thang ABCD với E là trung điểm của cạnh bên AD, F là trung điểm của cạnh bên BC thì
• Nếu EA = ED  và FB = FC
• = > EF là đường trung bình của hình thang đó.

b – Các định lý liên quan đến đường trung bình của hình thang

Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. 

Nếu ABCD là hình thang có hai đáy là AB, CD và

• Nếu EA = ED, EF / /AB // CD
• = > FB = FC

Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy của hình thang đó.

Cho hình ABCD là hình thang có 2 đáy là AB, DC

• Nếu EA = ED, FB = FC 
• = > EF//AB//EF và EF = (AB + CD)/2

c – Những tính chất liên quan đến đường trung bình hình thang

• Đường trung bình chia hình thang chia hình thang ban đầu thành hai hình thang nhỏ hơn, mỗi hình thang bằng nửa hình thang ban đầu.
• Diện tích hình thang là đường cao × đường trung bình.
• Đường trung bình của hình thang song song với đáy và có độ dài bằng trung bình cộng của độ dài các đáy.

Bài tập đường trung bình tam giác

Bài tập 1: tìm x trên hình minh họa 

Đáp án bài tập 1:

Ta có KA = KC = 8cm (1)

Ta có đường thẳng AC cắt hai đoạn thẳng KI và CB tạo thành hai góc đồng vị góc K = góc C =  50 độ.

= > KI // CB (2)

Từ (1) và (2) ta có: Đường thẳng KI đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai, vậy KI đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Do đó, IA = IB hay x = 10cm.

Bài tập 2: Tính khoảng cách AB giữa hai mũi của compa trên hình 42, biết rằng C là trung điểm của OA, D là trung điểm của OB và CD = 3cm.

Đáp án bài tập 2:

Xét tam giác OAB, ta có CO = CA và DO = BD

Vậy CD là đường trung bình của tam giác OAB

Ta suy ra được CD = 1/2 AB hay AB = 2CD = 2.3 = 6cm.

Bài tập 3: Cho hình bên, chứng minh rằng AI = IM

Đáp án bài tập 3:

Trong tam giác BCD ta có:

ED = EB và MB = MC ( giả thiết)

Vậy EM là đường trung bình của tam giác ADC

= > EM // DC hay EM // DI

Trong tam giác AEM, ta có DA = DE ( gt) và DI // EM (cmt)

= > Di đi qua trung điểm I của AM hay AI = IM

Bài tập đường trung bình của hình thang

Bài tập 1: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.

Đáp án bài tập 1:

Trong hình thang ABCD ta có:  EA = ED và FB = FC

Vậy EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

= >  EF // AB và EF // DC ( 1 )

Trong tam giác DAB, ta có EA = ED, KB = KD

Vậy EK là đường trung bình của tam giác DAB

= > EK // AB (2)

Từ (1) và (2) ta có: EF // AB và EK // AB

Vậy EF = EK hay 3 điểm E, K, F thẳng hàng.

Bài tập 2: Tìm x, y trên hình bên, trong đó AB // CD // EF // GH.

Đáp án bài tập 2:

Theo giả thiết của đề bài chú thích trong hình vẽ, ta có CD là đường trung bình của hình thang AEFB.

Do đó CD = (AB + EF) / 2 = (8 + 16) / 2 = 12

Vậy CD = 12cm => x = 12cm

Tương tự, EF là đường trung bình của hình thang CGHD, nên ta có:

EF = (CD + GH) / 2  < = > 16 = (12 + y) /2 

= > y = 16.2 – 12 = 32 – 21 = 20

Vậy y = 20cm

Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. 

a ) So sánh các độ dài EK và CD, độ dài KF VÀ AB

b ) Chứng minh rằng EF ≤  ( AB + CD)/2

Đáp án bài tập 3

Câu a:

So sánh 2 cạnh EK và CD

Theo giả thiết, ta có EA = ED và KA = KC

Nên EK là đường trung bình của tam giác ACD

= > EK = CD / 2

So sánh 2 cạnh KF và AB

Tương tự, ta có KF là đường trung bình của tam giác CAB

 => KF = AB / 2 

Câu b:

Áp dụng tính chất bất đẳng thức trong tam giác EFK ta có:

EF  ≤  EK + KF hay EF  ≤  CD / 2 + AB / 2

Vậy EF  ≤  (AB + CD ) / 2

Bài tập 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD tại I, cắt AC tại K

Câu a: Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID

Câu b: Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK.

Đáp án bài tập 4: 

Câu a

Xét tứ giác ABCD ta có: FB = FC và EA = ED ( gt)

Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

= > EF // AB và EF // CD

Xét tam giác CBD ta có: FB = FC (gt)

Do EF // AB => FK // AB

Vậy FK đi qua trung điểm cạnh AC.

= > AK = KC

Tương tự, trong tam giác ADB ta có: EA = ED (gt)

Do EF // AB = > EI // BA

Vậy EI đi qua trung điểm của cạnh BD => BI = ID

Câu b:

Xét tam giác DAB ta có EA = ED và ID = IB

Vậy EI là đường trung bình của tam giác DAB. Suy ra được EI  = AB / 2 =  6 / 2 = 3cm

Tương tự, KF là đường trung bình của tam giác ABC.

= > KF  = AB / 2 = 3cm

Vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên ta có:

EF = ( AB + CD) / 2 = (6 + 10 ) / 2 =  8cm

Mà IK = EF – ( EI + KF) = 8 – ( 3 + 3) = 2cm.

Vậy IK = 2cm.

Kết luận: Đây là đáp án cho câu hỏi đường trung bình trong tam giác là gì? Những bài tập ví dụ minh họa chi tiết nhất.